Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Лекция 13

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

456.02 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Лекция 13. Линейный интеграл. Формула Грина. Формула Стокса.

Лекция 13

Линейный интеграл. Формула Грина. Формула Стокса

1. Линейный интеграл

Пусть в некоторой области пространства Oxyz задана ориентированная кусочно-гладкая кривая L и векторное поле

a M P(x, y, z)
	i	Q(x, y, z)	j	R(x, y, z)k	(1)
с непрерывными компонентами.
Определение 1. Линейным интегралом от векторного поля					a M называется
интеграл вида
P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz .					(2)
L

Данный интеграл можно записать иначе, если использовать следующее обозначение:


dr dxi dyj dzk ,							(3)
где dr - дифференциал радиус-вектора					r , задающего точки кривой		L , см.
рис. 1.
z
				M1		L
				M1
M	0		dr			B
M	0					B
r 0		r 1
		r 1
A
						y
O
x					Рис.1.
					Рис.1.

Стаценко И.В. Лекция 13. Линейный интеграл. Формула Грина. Формула Стокса.

Тогда


P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz a, dr .							(4)
L						L
Если полагать, что a M				- векторное поле некоторой силы, действующей
на материальные точки				пространства	Oxyz . Тогда		величина

a, dr	a	dr	cos Прdr a . Таким образом,			величина a, dr - есть

локальное (в точке) действие силы на материальную точку в направлении dr .

Тогда величина a, dr суммирует все приложения силы	a M по
L

направлению, которое задает кривая L . То есть величина a, dr есть работа

силового поля a M по перемещению материальной точки в направлении

кривой L от точки Aдо точки B - в этом заключается физический смысл линейного интеграла в векторном поле.


Пример 1. Найти работу силового поля a xi	yj zk по перемещению
материальной точки вдоль линии L : x 3cos t ; y 3sin t ;		z 5 от точки
M0 3,0,5 до точки M1 3,0,5 .

M1 3,0,5

M0 3,0,5

x	Рис.2.

Стаценко И.В. Лекция 13. Линейный интеграл. Формула Грина. Формула Стокса.

Решение:

a, dr

xdx ydy

5dz

3cos

t d

3cos

3sin

3sin(t)

5d5

9cos2

9sin2

Определение 2. Циркуляцией векторного поля a M называется интеграл вида

Ц a, dr ,

(5)

в обозначении которого окружность на знаке интеграла показывает, что

линейный интеграл берется вдоль замкнутой кривой L .

Пример 2. Найти циркуляцию силового поля a yi

xj zk

по перемещению

материальной точки вдоль линии

L : x 3cos t ; y 3sin t ;

z 5

против

часовой стрелки.

Решение:

Ц ydx xdy zdz 3sin

t d 3cos(t) 3cos t d 3sin(t) 5d5

9sin2

t 9cos2 t dt

9 cos 2t dt 0.

Стаценко И.В. Лекция 13. Линейный интеграл. Формула Грина. Формула Стокса.

2.Формула Грина

Рассмотрим некоторую область G пространства Oxy , в каждой точке M которой задано плоское поле a M P(x, y)i Q(x, y) j с непрерывными компонентами. Пусть в области G также задана непрерывная кусочно-гладкая замкнутая кривая L , ограничивающая плоскую область Doxy см. рис 3.

Doxy

Рис.3.

Теорема 1. (Формула Грина)

Пусть функции P(x, y), Q(x, y) непрерывны в области G вместе со

своими частными производными	P(x, y)	,	Q(x, y) .	Пусть в области G
	y		x
задана непрерывная кусочно-гладкая замкнутая кривая				L , ограничивающая
плоскую область Doxy . Тогда

P(x, y)dx Q(x, y)dy

Обход области Doxy по контуру L

	Q	P
		dxdy .	(6)
Doxy	x	y

проводится против часовой стрелки.

Стаценко И.В. Лекция 13. Линейный интеграл. Формула Грина. Формула Стокса.

x1	y	A
		A

O	a

y2 x

Doxy

y1 x

Рис.4.

Bx2 y

Разобьем кривую L точками A, D, B, C на четыре гладких фрагмента:

AB : y1 y1 x , x a,b ; BA : y2 y2 x , x b,a ; DC : x1 x1 y , y d,c ; CD : x2 x2 y , y c, d .

Обход фрагментов осуществляется против часовой стрелки.

Тогда

	P	b	y2 x	P(x, y)	b
					dy P x, y2 x P x, y1 x dx
	dxdy dx
Doxy	y	a	y1 x	y	a

b	b	b	a
P x, y2	x dx P x, y1	x dx P x, y1	x dx P x, y2	x dx
a	a	a	b

P x, y dx .

Стаценко И.В. Лекция 13. Линейный интеграл. Формула Грина. Формула Стокса.

x2 y

Q(x, y)

Q x2 y , y Q x1 y , y dy

dxdy dy

x y

oxy

Q x2 y , y dy Q x1 y , y dy Q x2

y , y dy Q x1

y , y dy

Q x, y dy .

Таким образом, получено, что

dxdy P x, y dx , а

Doxy

x, y dx , т.е.

dxdy Q

oxy

P(x, y)dx Q(x, y)dy

dxdy .

(7)

Doxy

Теорема доказана.

Пример 3. Найти циркуляцию силового поля a y2 i x2 j вдоль линии L , представленной на рис.5. Обход контура против часовой стрелки.

Doxy

Рис.5.

Решение:

Стаценко И.В. Лекция 13. Линейный интеграл. Формула Грина. Формула Стокса.

									5		5
	y2dx x2dy
	y2dx x2dy			2x 2 y dxdy				2		dx		x y	dy
L			Doxy						0		0
		5			25
	2		5x			dx	250.
	2		5x		2	dx	250.
		0			2

3.Формула Стокса

Определение 3. Ротором (вихрем) векторного поля a M называется вектор следующего вида

	R	Q	P

rot a M	y	i		z
		z

R	Q	P

j	x	k .	(8)
x		y

Данный вектор можно определять, используя также следующее символическое правило

rot a M

(9)

Пример 4. Найти ротор векторного

поля a xyi

xzj zyk

в точке

M0 1,0,1 .

Решение:

rot a M

z x i

0 0 j z x k .

rot a M0 2i 0 j 2k .

Теорема 2. (Формула Стокса)

Стаценко И.В. Лекция 13. Линейный интеграл. Формула Грина. Формула Стокса.

Пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны в областипространства Oxyz вместе со своими частными производными первого порядка. Пусть в области задана непрерывная кусочно-гладкая замкнутая кривая L и векторное поле a M P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k .

Тогда циркуляция векторного поля a M равна потоку ротора данного

векторного поля через любую кусочно-гладкую поверхность , “натянутую” на контур L и находящуюся в области .

То есть

	Ц a, dr rot a , n o d .				(10)
	L
			no
Ориентация	вектора	нормали	no	cos ,cos ,cos к

поверхности такова, что обход контура L для наблюдателя из конца вектора нормали происходит против часовой стрелки.

Доказательство:

В развернутой форме формула Стокса имеет следующий вид

Ц Pdx Qdy Rdz	(11)
L

Q	P
cos
z		z

	R		Q
	cos		x
	x		x

P cos d .

Рассмотрим доказательство для случая, когда поверхность , “натянутая” на контур L , задана в явном виде выражением z z x, y , при этом данная поверхность в границах контура L однозначно проектируется на область DOxy см. рис. 6.

Стаценко И.В. Лекция 13. Линейный интеграл. Формула Грина. Формула Стокса.

n 0

Doxy

Рис.6.

В условиях принятых допущений получим:

;

; 1

n o

cos

,cos

;

R z

x y

R z

DOxy

x y

	Q		P
	Q		P


	x		y


Q		P

	x		y	z z
			y	z z

1 d

n 0

dxdy . (12)

x, y

Стаценко И.В. Лекция 13. Линейный интеграл. Формула Грина. Формула Стокса.

Кроме того,

учитывая,

что

: z z x, y ,

выражение

(11) можно

записать следующим образом

Ц Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy Rdz x, y

Pdx Qdy R

P R

Q R

z z x, y

Таким образом, имеем

x, y

dx Q

x, y

dy ,

(13)

где

z x, y

;

x, y

P R z

x, y, z

x, y

x, y, z

x, y

z z x, y

Q x, y, z x, y R x, y, z x, y

z x, y

Q1 x, y Q

z z x, y

Тогда, применяя формулу Грина для (12), получим

x, y

dxdy ;

(14)

dx Q

DOxy

Q1 x, y

x, y

x, y, z

x, y

x, y, z x, y

Q z

R z

2 z

(15)

z x

x y

Стаценко И.В. Лекция 13. Линейный интеграл. Формула Грина. Формула Стокса.

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
16.05.2024472.48 Кб0Лекция 1.pdf
#
16.05.2024458.2 Кб1Лекция 10.pdf
#
16.05.2024430.88 Кб1Лекция 11.pdf
#
16.05.2024449.15 Кб0Лекция 12.pdf
#
16.05.2024456.02 Кб0Лекция 13.pdf
#
16.05.2024416.26 Кб0Лекция 14.pdf
#
16.05.2024440.3 Кб0Лекция 15.pdf
#
16.05.2024440.55 Кб0Лекция 2.pdf
#
16.05.2024439.71 Кб0Лекция 3.pdf
#
16.05.2024456.92 Кб0Лекция 4.pdf